書籍詳細

史上最強図解 これならわかる!三角関数

佐藤 敏明:著

サイズ・頁数 A5判・256頁
ISBNコード 978-4-8163-5411-3
価格(税抜) 1,500円
発行日 2013.04.11

内容紹介

三角関数は、最も重要な数学のひとつです。大学の入試や理系企業の採用試験には、関連問題が絶対に出題されます。本書では、三角関数だけでなく、三角比、三角関数の微分積分、指数関数、フーリエ変換を、図やグラフなどで解説しています。さらに、巻頭や扉にマンガを配置して親しみやすくしました。

目次

はじめに



第1章 三角比の誕生と性質

○三角形の相似とsin、cos、tanの登場

 三角形の相似を利用して木の高さを求めよう

 tanを使って木の高さを求めよう

 sinとcosを定義して、飛行機の高度と水平距離を調べよう

○三角比の利用

 三角比の表とその見方をおぼえよう

 噴水の高さを求めよう

 富士山の山頂で地球の半径を求めよう

○三平方の定理と無理数の計算

 自然数から実数への発展

 ピタゴラスの定理を証明しよう

 √の計算と三角比の関係を調べよう

○座標平面と三角比の拡張

 平面に番地をつけてみよう

 90°より大きな角まで三角比を拡げよう

 特別な角度の三角比を求めよう

○三角比の性質

 三角比の性質から大きな角の三角比を求めよう①

 三角比の性質から大きな角の三角比を求めよう②

 sin、cos、tanの間の関係を知ろう

 三角比から角度を求めてみよう



第2章 三角比の応用

○三角形の角と対辺の関係(正弦定理)

 湖の向こうの塔までの距離を測ってみよう

 海に浮かぶヨットまでの距離を測ってみよう

 中心角と円周角の関係を調べよう

 円形の池の直径を測ってみよう

○三角形の3辺と角の関係(余弦定理)

 見えない建物までの距離を測ってみよう

 進路を変えた飛行機の変更角度を求めよう

○正弦定理・余弦定理の利用

 正弦定理・余弦定理と三角形の合同条件

 2隻のボートの距離を求めてみよう

○図形の面積と正弦定理・余弦定理

 3辺の長さから三角形の面積を求めるヘロンの公式

 三角形の面積の公式を利用して四角形の面積を求めよう

 円に内接する四角形の面積を求めよう

 内接円・外接円の半径を求めよう

 三角錐の体積を求めよう



第3章 三角比から三角関数へ

○三角関数と弧度法

 sin、cos、tanの生い立ち

 数と数の関係を表す関数

 360°よ、さようなら! πを使った角度の書き方

 ぐるぐる回るよ一般角

○三角関数の誕生

 三角比から三角関数への進化

 三角比の性質がそのまま三角関数の性質になる

○三角関数のグラフ

 y=sinxとy=cosxのグラフを描いてみよう

 正弦曲線と余弦曲線の特徴と関係を調べよう

 一風変わったy=tanxのグラフ

 波の幅や長さを変えてみよう

 波を平行にずらしてみよう

 三角関数の変形をまとめてみよう

○三角関数の計算

 加法定理は2つの角の和の計算

 角が2倍になったらどうなるの?

 角が3倍の場合や 倍の場合

 足し算をかけ算へ かけ算を足し算へ

 sinとcosを合わせたらどうなるの?

○媒介変数表示

 sinとcosを使って円や楕円を描こう

 sinとcosを使って曲線を描こう

○波を表す

 正弦波を詳しく見てみよう

 重ね合わせてできる波



第4章 三角関数の微分と積分

○微分を知ろう

 瞬間の速度を求めよう

 微分するってどういうこと?

○微分の計算

 xnの微分と微分の線形性

 積の微分と商の微分

 三角関数の微分

 微分してからさらに微分してみよう

○べき級数展開

 無限個のxnの和

 無限個のxnの和で関数を表す

 sinとcosを無限個のxnの和で表す

○積分とその計算

 積分は微分の逆操作

 置換積分法と部分積分法

○定積分と面積

 不定積分から定積分へ

 曲線で囲まれた図形の面積を求めよう

 定積分の置換積分法と部分積分法



第5章 三角関数と指数関数の出会い

○指数関数と対数関数

 0乗やマイナス乗ってどんな数?

 分数乗や実数乗ってどんな数?

 急激に増加する指数関数

 かけ算を足し算にする対数とは?

 ゆっくりと増加する対数関数

 exを無限個のxnの和で表そう

○iの世界への誘い

 iの世界を定義しよう

 iの世界のカケヒキ

○オイラーの公式とiの世界

 オイラーの公式を導こう

 複素数の指数法則を調べよう

 オイラーの公式からiの世界を見てみよう



第6章 フーリエの世界へ

○フーリエ級数の成立へ

 区分的に滑らかって?

 無限に伸びる関数の積分

 積分を楽にする偶関数と奇関数の性質

 フーリエ係数を求めよう

 ノコギリ波で正弦波が直線に近づく

 フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数

○フーリエ級数の進化

 周期2πから周期2Lの周期関数へ

 複素フーリエ級数の登場

 ノコギリ波の複素フーリエ級数を求めよう

 複素フーリエ級数を周期2Lに拡げよう

 周期関数でない関数のフーリエ級数

 方形パルスのフーリエ表現式

○フーリエ変換

 フーリエ表現式が成り立つ条件は?

 偶関数と奇関数のフーリエ変換

 フーリエ変換と微分積分の関係



第7章 フーリエの活躍

○微分方程式の基本

 微分方程式は現象の変化を表す

 微分方程式の線形性ってなに?

○微分方程式を解く

 微分方程式 =auを解こう

 フーリエ級数を使って微分方程式を解こう

 変数分離法で波動方程式を解こう①

 変数分離法で波動方程式を解こう②

 条件を与えて波動方程式を解いてみよう

 無限に長い棒の熱の伝わり方



 索引

 三角比の表