三角関数は、最も重要な数学のひとつです。大学の入試や理系企業の採用試験には、関連問題が絶対に出題されます。本書では、三角関数だけでなく、三角比、三角関数の微分積分、指数関数、フーリエ変換を、図やグラフなどで解説しています。さらに、巻頭や扉にマンガを配置して親しみやすくしました。
はじめに
第1章 三角比の誕生と性質
○三角形の相似とsin、cos、tanの登場
三角形の相似を利用して木の高さを求めよう
tanを使って木の高さを求めよう
sinとcosを定義して、飛行機の高度と水平距離を調べよう
○三角比の利用
三角比の表とその見方をおぼえよう
噴水の高さを求めよう
富士山の山頂で地球の半径を求めよう
○三平方の定理と無理数の計算
自然数から実数への発展
ピタゴラスの定理を証明しよう
√の計算と三角比の関係を調べよう
○座標平面と三角比の拡張
平面に番地をつけてみよう
90°より大きな角まで三角比を拡げよう
特別な角度の三角比を求めよう
○三角比の性質
三角比の性質から大きな角の三角比を求めよう①
三角比の性質から大きな角の三角比を求めよう②
sin、cos、tanの間の関係を知ろう
三角比から角度を求めてみよう
第2章 三角比の応用
○三角形の角と対辺の関係(正弦定理)
湖の向こうの塔までの距離を測ってみよう
海に浮かぶヨットまでの距離を測ってみよう
中心角と円周角の関係を調べよう
円形の池の直径を測ってみよう
○三角形の3辺と角の関係(余弦定理)
見えない建物までの距離を測ってみよう
進路を変えた飛行機の変更角度を求めよう
○正弦定理・余弦定理の利用
正弦定理・余弦定理と三角形の合同条件
2隻のボートの距離を求めてみよう
○図形の面積と正弦定理・余弦定理
3辺の長さから三角形の面積を求めるヘロンの公式
三角形の面積の公式を利用して四角形の面積を求めよう
円に内接する四角形の面積を求めよう
内接円・外接円の半径を求めよう
三角錐の体積を求めよう
第3章 三角比から三角関数へ
○三角関数と弧度法
sin、cos、tanの生い立ち
数と数の関係を表す関数
360°よ、さようなら! πを使った角度の書き方
ぐるぐる回るよ一般角
○三角関数の誕生
三角比から三角関数への進化
三角比の性質がそのまま三角関数の性質になる
○三角関数のグラフ
y=sinxとy=cosxのグラフを描いてみよう
正弦曲線と余弦曲線の特徴と関係を調べよう
一風変わったy=tanxのグラフ
波の幅や長さを変えてみよう
波を平行にずらしてみよう
三角関数の変形をまとめてみよう
○三角関数の計算
加法定理は2つの角の和の計算
角が2倍になったらどうなるの?
角が3倍の場合や 倍の場合
足し算をかけ算へ かけ算を足し算へ
sinとcosを合わせたらどうなるの?
○媒介変数表示
sinとcosを使って円や楕円を描こう
sinとcosを使って曲線を描こう
○波を表す
正弦波を詳しく見てみよう
重ね合わせてできる波
第4章 三角関数の微分と積分
○微分を知ろう
瞬間の速度を求めよう
微分するってどういうこと?
○微分の計算
xnの微分と微分の線形性
積の微分と商の微分
三角関数の微分
微分してからさらに微分してみよう
○べき級数展開
無限個のxnの和
無限個のxnの和で関数を表す
sinとcosを無限個のxnの和で表す
○積分とその計算
積分は微分の逆操作
置換積分法と部分積分法
○定積分と面積
不定積分から定積分へ
曲線で囲まれた図形の面積を求めよう
定積分の置換積分法と部分積分法
第5章 三角関数と指数関数の出会い
○指数関数と対数関数
0乗やマイナス乗ってどんな数?
分数乗や実数乗ってどんな数?
急激に増加する指数関数
かけ算を足し算にする対数とは?
ゆっくりと増加する対数関数
exを無限個のxnの和で表そう
○iの世界への誘い
iの世界を定義しよう
iの世界のカケヒキ
○オイラーの公式とiの世界
オイラーの公式を導こう
複素数の指数法則を調べよう
オイラーの公式からiの世界を見てみよう
第6章 フーリエの世界へ
○フーリエ級数の成立へ
区分的に滑らかって?
無限に伸びる関数の積分
積分を楽にする偶関数と奇関数の性質
フーリエ係数を求めよう
ノコギリ波で正弦波が直線に近づく
フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数
○フーリエ級数の進化
周期2πから周期2Lの周期関数へ
複素フーリエ級数の登場
ノコギリ波の複素フーリエ級数を求めよう
複素フーリエ級数を周期2Lに拡げよう
周期関数でない関数のフーリエ級数
方形パルスのフーリエ表現式
○フーリエ変換
フーリエ表現式が成り立つ条件は?
偶関数と奇関数のフーリエ変換
フーリエ変換と微分積分の関係
第7章 フーリエの活躍
○微分方程式の基本
微分方程式は現象の変化を表す
微分方程式の線形性ってなに?
○微分方程式を解く
微分方程式 =auを解こう
フーリエ級数を使って微分方程式を解こう
変数分離法で波動方程式を解こう①
変数分離法で波動方程式を解こう②
条件を与えて波動方程式を解いてみよう
無限に長い棒の熱の伝わり方
索引
三角比の表